Calcolo dell’azione sollecitante a Punzonamento con Geogebra e foglio di calcolo elettronico secondo EC2 e NTC5 min read

Il Punzonamento è una forza concentrata che agisce su un elemento bidimensionale tipo piastra e può provocarne la rottura. Ad esempio il piede di una gru che poggia su un plinto in cemento armato va verificato anche a punzonamento. In questo breve tutorial vediamo insieme come calcolare e verificare il valore limite imposto dalla normativa e come svolgere velocemente il calcolo online con Geogebra e/o con un foglio di calcolo elettronico.

Introduzione

Si ha punzonamento (punching in inglese) nelle piastre quando si è in presenza di un carico concentrato agente su un’area relativamente piccola che determina un comportamento bidirezionale della distribuzione della sollecitazione. In particolare è bene circoscrivere e verificare tale sollecitazione nelle piastre, solai e plinti di fondazione elastici (non tozzi). Le forze concentrate che producono gli effetti del punzonamento possono essere sia forze applicate tipo la forza normale di un pilastro e sia reazioni di appoggio tipo la spinta del terreno su un plinto di fondazione.

Il rischio di punzonamento è circoscritto alla cosiddetta area critica che si trova in corrispondenza della zona di applicazione della forza sulla superficie. Una piastra soggetta a forze concentrate distribuisce idealmente le tensioni tangenziali attraverso le quattro facce del tronco di piramide che qui sotto vediamo in sezione con un angolo che varia da 27° a 45° a secondo delle indicazioni di normativa.

Se i valori delle tensioni tangenziali sono bassi non è necessario inserire nell’elemento alcuna armatura aggiuntiva in grado di resistere al punzonamento. L’armatura a punzonamento ha lo scopo di cucire il cono di rottura con la piastra soggetta alla forza di rottura.

Aspetti normativi

NTC08

La normativa italiana NTC08 al punto 4.1.2.1.3.4 – “Verifica al punzonamento di lastre soggette a carichi concentrati” – Norme Tecniche per le Costruzioni – considera la diffusione del carico da punzonamento con un angolo di 27° rispetto all’orizzontale fino alle armature inferiori prendendo l’altezza utile pari a (d) e un rapporto larghezza/altezza pari a 2. Nel complesso non aggiunge altre indicazioni oltre ad individuare il perimetro critico e in caso di presenza di armatura prescrive di affidare a quest’ultima gli interi sforzi per contrastare l’azione di punzonamento.

Eurocodice 2

L’Eurocodice 2 (UNI EN 1992-1-1) invece al punto 6.4 tratta in modo ampio l’argomento. Innanzitutto considera il perimetro critico traslando le linee di contorno dell’area caricata di una quantità pari a (2d) e raccordandole agli spigoli con archi di circonferenza. Infatti per i pilastri a sezione poligonale, il perimetro di verifica di base si ottiene da quello del pilastro traslando i lati di (2d) verso l’esterno e raccordandoli con tratti di circonferenza di raggio (2d), centrati sui vertici della sezione.

Calcolo dell’azione sollecitante a Punzonamento

Azione sollecitante a punzonamento

Negli esempi successivi e nell’applicazione online realizzata con Geogebra prenderemo in considerazione i riferimenti normativi dell’Eurocodice 2 trattando un modello di calcestruzzo non lineare. In particolare il nostro calcolo servirà a ricavare l’azione sollecitante a punzonamento ved che una volta nota ci permetterà di eseguire un verifica a punzonamento agli Stati Limite ultimi (SLU).

Si distinguono nella pratica due casi possibili: il primo in presenza di carico centrato e il secondo in presenza di carico eccentrico. Nell’Eurocodice 2 è presente la formula 6.38 con la quale otteniamo come tensione massima di taglio il valore:

v_{ed}=\frac{V_{Ed}}{u_i d}\beta

dove:

  • ved = azione sollecitante a punzonamento
  • VEd = carico concentrato che agisce sulla piastra
  • ui = perimetro di verifica (“perimetro critico”)
  • d = media delle altezze utili
  • β = coefficiente che tiene conto dell’eccentricità del carico

Perimetro di verifica (perimetro critico)

Se l’area caricata è un rettangolo di lati a e b, il perimetro critico (u) misura:

u=2a+2b+4\pi d

Altezza utile media

Fare la media delle altezze utili in presenza di barre di armatura al primo impatto può risultare non immediato. Quando facciamo la media è necessario considerare il ricoprimento minimo di ogni barra fino al suo interasse. La formula diventa:

d=h-c*

dove:

  • c* = distanza media dal bordo dell’armatura tesa (prima e seconda orditura)
  • h = altezza della sezione della piastra soggetta a punzonamento

Resistenza a punzonamento in assenza di armatura

ln assenza di una specifica armatura a punzonamento si valuta la resistenza della sezione critica con una formula analoga a quella del taglio facendo riferimento a delle tensioni invece che a delle forze. Si prende come resistenza vRd,c il più grande dei valori che viene fuori dalle seguenti espressioni:

v_{Rd,c}=0.18k\sqrt[{3}]{100\rho_lf_{ck}}/\gamma_c+0.10\sigma_{cp}

 v_{Rd,c}=0.035\sqrt{k^3f_{ck}}+0.10\sigma_{cp}

dove si indica il coefficiente k con d espresso in (mm):

k=1+\sqrt{\frac{200}{{d}}}\leq 2.0

indica la percentuale geometrica di armatura longitudinale:

\rho_l=\frac{A_{sl}}{b_wd}\leq 0.02

che nel caso di armature longitudinali differenti nelle due direzioni diventa:

\rho_{l}=\sqrt{\rho_{lx}\cdot\rho_{ly}}

Resistenza a punzonamento in presenza di armatura

[work in progress]

Esempio di calcolo

Dati iniziali del problema

Prendiamo in esame una soletta piena in cemento armato C25/30 di un solaio di spessore 18 cm sottoposto a una forza di punzonamento di 60 kN in corrispondenza del piede di un soppalco di dimensioni 20 cm x 20 cm. Nel solaio è presente un’armatura tesa bidirezionale con 1ø14 ogni 20 cm con un ricoprimento minimo di 15 mm. Vogliamo ricavare la tensione sollecitante media a punzonamento.

Altezza utile media

L’altezza utile media della sezione in esame si ricava calcolando la distanza media dal bordo inferiore dell’armatura tesa

  1. prima orditura (15+14/2)=22 mm
  2. seconda orditura (22+14/2+14/2)= 36 mm

d=h-c*=180-\frac{(22+36)}{2} mm=(180-29) mm =151 mm

Perimetro di verifica

Il perimetro critico per la verifica a punzonamento risulta pari a:

u=2a+2b+4\pi d=2\cdot20 + 2\cdot 20 + 4\pi \cdot 15,1=269,8 cm

Azione sollecitante a punzonamento

Quindi infine avendo i valori del perimetro di verifica riusciamo a calcolare la tensione sollecitante media a punzonamento trascurando il coefficiente β perché il carico che agisce in questo caso è centrato (non presenta eccentricità):

v_{ed}=\frac{V_{Ed}}{u_1 d}\beta = \frac{(60 \cdot 10^3)N}{(2698)mm \cdot (151)mm}=0.147 N/mm^2 (MPa)

Verifica a punzonamento in assenza di armatura

Per ottenere la resistenza della sezione non armata a punzonamento iniziamo calcolando il valore della percentuale geometrica di armatura in direzione X e Y. Avendo un’armatura simmetrica lungo le due direzioni si calcola solo in X prendendo l’altezza utile media

A_{sl}=1\phi14=1.54 cm^2

b_w=20cm

d=15.1 cm

\rho_l=\frac{A_{sl}}{b_wd}\leq 0.02=\frac{1.54}{20\cdot15.1}=0.0051

A questo punto calcoliamo il valore del coefficiente (k) con (d) espresso in (mm):

k=MIN \left ( 1+\sqrt{\frac{200}{{d}}}\leq 2.0 \right )=MIN \left ( 1+\sqrt{\frac{200}{{155}}}\leq 2.0 \right )=2.0

Assumendo σcp=0, γc=1.5 e fck=25 si ottiene:

v_{Rd,c}=0.18k\sqrt[{3}]{100\rho_lf_{ck}}/\gamma_c+0.10\sigma_{cp}=0.18\cdot2.0\cdot\sqrt[{3}]{100\cdot0.0051\cdot25}/1.5=0.561 MPa

v_{Rd,c}=0.035\sqrt{k^3f_{ck}}+0.10\sigma_{cp}=0.035\sqrt{2.0^3\cdot25}=0.495 MPa

Tra i due valori di resistenza si prende il maggiore pari a 0.561 MPa che è molto superiore alla sollecitazione precedentemente calcolata di 0.147 MPa quindi non è necessario armatura specifica a punzonamento.

Resistenza a punzonamento in presenza di armatura

[work in progress]

Calcolo Online con Geogebra

L’applicazione sviluppata in ambiente Geogebra è raggiungibile dal link qui sotto indicato. Funziona in tutti i browser compatibili direttamente online ed è possibile eseguire il download nel formato proprietario “.ggb” che rimane liberamente modificabile e adattabile a qualunque esigenza.

Geogebra App: https://ggbm.at/k2Ue6YKh

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Il Foglio di Calcolo è stato sviluppato con le indicazioni illustrate nel presente articolo. Il file è in formato (.xlsx) compatibile con Google Drive e con gli editor Microsoft Excel (.xlsx), LibreOffice e OpenOffice nel formato Open Document (.ods).


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